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2013년 3월 17일 일요일

주파수에 따른 전송선의 성질

지난 시간에 샅펴본 전송선의 특성임피던스(characteristic impedance)에서 주파수(ω)가 0일 경우, 즉 DC상태에서 특성임피던스(characteristic impedance)는 다음과 같다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}=\sqrt{\frac{R}{G}}$ 식 (1)

주파수가 조금씩 높아질경우 유전손실로 인한 콘덕턴스(G)는 저항(R)성분에 비해 현저히 작고 ωC >> G가 되므로 콘덕턴스(G)를 무시하여 저주파수에서의 특성임피던스(characteristic impedance)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{j\omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}\sqrt{1-j\frac{R}{\omega L}}$ 식 (2)

주파수가 더 올라가 고주파수가 되면 ωL >> R이 되어 식 (2)의 R/ωL은 무시할 수 있으므로

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{j\omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}\sqrt{1-j\frac{R}{\omega L}}=\sqrt{\frac{L}{C}}$ 식 (3)

을 얻을 수 있다. 식 (2)와 식 (3)을 보면 특성임피던스(characteristic impedance)는 ωL과 R의 비율에 영향을 받음을 알 수 있다.

[그림 1]은 특성임피던스(characteristic impedance)와 주파수의 관계, 그리고 특성임피던스(characteristic impedance)와 ωL/ R의 관계를 보여준다. 그래프에서 보여준 특성임피던스(characteristic impedance)의 계산에 이용한 RLGC값은 다음과 같다.

R: 0.05 Ω/meter L: 4.98 nH/meter C: 1.98 pF/meter G: 0.0 Ʊ/meter

[그림 1]

다음으로 주파수에 따른 전파상수(propagation constant)의 변화를 알아보기로 한다.

주파수(ω)가 0(DC상태)일 경우, 전파상수(propagation constant)는 다음과 같다.

$\small \gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=\sqrt{RG}$    식 (4)

위의 식에서 전파상수(propagation constant)는 실수인 감쇄상수(attenuation constant, α)만을 가지며 위상상수(phase constant, β)는 0이다.

주파수가 높아져서 ωL >> R 과 ωC >> G의 상태가 되면 바이노미알 정리(binomial theorem)에 의해 다음을 얻을 수 있다.

* Binomial theorem: √ (a+b) ≈ √ a + b/(2√ a ) for a >> b

$\small \begin{align*}\gamma =\alpha +j\beta &= \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}\\\\ &= \sqrt{j\omega L+R}\sqrt{j\omega C+G}\\\\ &= (\sqrt{j\omega L}+\frac{1}{2}\frac{R}{\sqrt{j\omega L}})(\sqrt{j\omega C}+\frac{1}{2}\frac{G}{\sqrt{j\omega C}})\\\\ &= \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}+\frac{G}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}+j(\omega \sqrt{LC}-\frac{1}{4}\frac{RG}{\omega LC}) \end{align*}$    식 (5)

식 (5)에서 RG값은 다른 항에 비해서 매우 작아서 무시할 수 있으며 고주파수에서의 특성임피던스(characteristic impedance)인 Z₀ = √ L/C 를 이용하면 다음과 같이 다시 간단히 쓸 수 있다.

$\small \begin{align*}\gamma =\alpha +j\beta &\approx \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}+\frac{G}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}+j\omega \sqrt{LC}\\\\ &\approx \frac{R}{2Z_{0}}+\frac{GZ_{0}}{2}+j\omega \sqrt{LC} \end{align*}$ 식 (6)

따라서 고주파수에서 감쇄상수(attenuation constant, α)와 위상상수(phase constant, β)는 다음과 같다.

$\small \begin{align*} \alpha &\approx \frac{R}{2Z_{0}}+\frac{GZ_{0}}{2}\\\\ \beta &\approx j\omega \sqrt{LC} \end{align*}$ 식 (7)

식 (7)의 감쇄상수(attenuation constant, α)에서 R/2Z₀는 신호전도체(conductor)에 의한 신호손실을 의미하고 GZ₀/2는 유전체(dielectric)에 의한 신호손실을 의미한다.

감쇄상수(attenuation constant, α)와 위상상수(phase constant, β)의 주파수의 일반식은 식 (8)과 같이 쓸 수 있다.

$\small \begin{align*} \alpha^{2}&= \frac{1}{2}(\sqrt{(R^{2}+(\omega L)^{2})(G^{2}+(\omega C)^{2})}+(RG-\omega^{2}LC))\\\\ \beta^{2} &= \frac{1}{2}(\sqrt{(R^{2}+(\omega L)^{2})(G^{2}+(\omega C)^{2})}-(RG-\omega^{2}LC)) \end{align*}$    식 (8)

[그림 2]는 식 (8)과 다음의 RLGC 파라미터를 이용한 주파수에 따른 α와 β의 관계를 보여준다. 그림에서 보여지는것 같이 주파수가 높아질 수록 α와 β가 각각 식 (7)에 수렴함을 볼 수 있다.

R: 0.05 Ω/meter L: 4.98 nH/meter C: 1.98 pF/meter G: 0.0 Ʊ/meter

[그림 2]

2013년 3월 7일 목요일

무손실 전송선(Lossless Transmission Line)

지금까지 보아온 RLGC소자로 모델링한 전송선에서 R(resistor)과 G(conductor)는 신호에너지의 손실을 유발한다. 이상적인 전송선 즉, 에너지 손실이 없는 전송선을 모델링하기 위해서는 [그림 1]에 보여진것 처럼 기존의 RLGC등가회로에서 R소자값과 G소자값을 영으로 하여 L(inductor)소자와 C(capacitor)소자로만 등가회로를 구성하면된다.

[그림 1]

[그림 1]에서 R과 G의 값이 0이므로 지난 시간 '전송선(Transmission Line) - 파동방정식(Wave Equation)'에서 구한 전파상수(propagation constant)를 나타내는 γ의 α항인 지수감쇄(exponential attenuation)도 0이 되어 β항인 위상전위(phase shift)만 남게된다. 따라서 노드 방정식에서 유도한 전압식은 오일러의 공식(Euler's formula)을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\small \begin{align*} V(z,t)&=Re[\ (V_{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+V_{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z})e^{j\omega t}\ ] \\\\ &= Re[\ (V_{+}e^{-\alpha z}e^{j(\omega t -\beta z)}+V_{-}e^{\alpha z}e^{j(\omega t+\beta z)}\ ]\\\\ &= V_{+}e^{-\alpha z}\ cos(\omega t -\beta z)+V_{-}e^{-\alpha z}\ cos(\omega t +\beta z) \end{align*}$ 식 (1)

식 (1)에서 정방향 파동만을 고려하면 [그림 2]와 같이 시간(t)과 공간(z)상의 정현파를 그릴 수 있다.

[그림 2]

위의 식 (1)과 지난시간에 소개한 파동방정식(wave equation)을 이용하여 무손실전송선(lossless transmission line)의 중요 파라미터를 구해보도록 한다.

1. 위상속도(Phase Velocity)

[그림2]에서 보여지는 것 처럼 정현파가 공간을 따라 거리 z의 방향으로 이동하게 되면 그에 따른 이동시간도 변하게 된다. 즉, 정현파의 위상(phase)은 Δz/Δt의 비율로 변하게 되므로 Δz/Δt는 위상속도(phase velocity)라 할 수 있다. 식 (1)에서 cosine항의 ωt - βz를 상수(constant)로 놓으면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.

$\small \frac{dz}{dt}=v_{p}=\frac{\omega }{\beta }\hspace{20}m/s$ 식 (2)

또한 전파상수(propagation constant)로 부터 다음의 식을 유도할 수 있다.

$\small \gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=0+j\omega \sqrt{LC}\hspace{5} \rightarrow\hspace{5} \beta =\omega \sqrt{LC}$ 식 (3)

식 (3)을 식 (2)에 대입하면 위상속도( phase velocity, ν_p)는

$\small v_{p}=\frac{\omega }{\beta }=\frac{1}{\sqrt{LC}}\hspace{20}m/s$ 식 (4)

로서 L과 C는 단위 길이당의 값이다. 위상속도(phase velocity)는 식 (5)와 같이 유전체(dielectric)의 성질을 이용해서 나타낼 수 도 있다.

$\small v_{p}=\frac{c}{\sqrt{\mu _{r}\varepsilon _{r}}}\hspace{20}m/s$ 식 (5)

c는 진공상태에서의 빛의 속도(3 x 10⁸ m/s)이고 μ_r은 유전체의 투자율(relative magnetic permeability)이며 ε_r는유전체의 유전율(relative permittivity)이다.

파장 λ는 파형의 마루와 그 다음 마루사이의 거리를 나타내는데 식 (1)에서 파형이 z방향으로 흐르면서 βz가 2π radian만큼 증가한 거리와 같다. 즉, βλ = 2π 이므로

$\lambda =\frac{2\pi }{\beta}$ 식 (6)

이 되며 식 (4)에 의해서

$\lambda =\frac{2\pi \upsilon }{\omega}=\frac{2\pi \upsilon }{2\pi f}=\frac{\upsilon }{f}=\frac{c}{f\sqrt{\mu _{r}\epsilon _{r}}}$ 식 (7)

와 같은 관계식을 같는다.

2. 특성 임피던스(Characteristic Impedance)

지난시간에 유도했던 파동방정식(wave equation)을 이용하여 무손실 전송선의 특성임피던스(characteristic impedance)를 구하면 다음과 같다. 우선 V-I관계를 살펴보기 위해 식(8)의 정방향 파동을 식 (9)에 대입해 보기로 한다.

$\small V=V_{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+V_{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z}$    식 (8)

$\small \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} z}=-(R+j\omega L)I$    식 (9)

R과 G는 0이므로 식 (8)을 미분하면 다음 관계식을 얻을 수 있다.

$\small \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} z}=-j\omega \sqrt{LC}e^{-jz\omega \sqrt{LC}}V_{+}=-j\omega LI$ 식 (10)

따라서 전류 I 는

$\small I=\frac{\sqrt{LC}e^{-j\omega z\sqrt{LC}}}{L}V_{+}=\sqrt{\frac{C}{L}}V_{+}e^{-jz\omega \sqrt{LC}}$ 식 (11)

가 된다. 식 (11)에서 C의 단위는 F/m=A S/m 이고 L의 단위는 H/m=V S/A이므로 √ (C/L) 의 단위는 A/V가되어 지멘스(siemens) 즉, 저항(resistance)의 역수가 된다. 그러므로 무손실전송선(lossless transmission line)의 특성임피던스(characteristic impedance)는 다음과 같다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{L}{C}}$    식 (12)

식 (13)에서 보여지는 것같이 식 (12)는 지난시간에 소개한 RLGC 전송선 모델로 부터 유도한 특성임피던스를 통하여 얻은 값과 일치한다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}=\sqrt{\frac{0+j\omega L}{0+j\omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}$    식 (13)

2013년 2월 28일 목요일

전송선의 파동방정식 (Transmission Line Wave Equation)

지난 포스팅에서 봤던 전송선의 등가회로를 다시 보면 다음과 같다.

[그림 1]

[그림 1]의 회로를 좀 더 자세하게 해석하기위해 Δz에서 발생하는 전압전류의 관계를 알아보기로 한다. 먼저 RLGC회로상에서 키르히호프의 전압법칙을 이용하여 노드방정식을 만들면 다음과 같다.

$\small V(z+\Delta z)-V(z)=-RI(z)-L\frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} t}$ 식 (1)

방정식 (1)에서 Δz를 최대한 작게하기 위해 극한 Δz -> 0를 취하면

$\small \lim_{\Delta z\to 0}\frac{V(z+\Delta z)-V(z)}{\Delta z}=\frac{\mathrm{d} V(z)}{\mathrm{d} z}=-RI(z)-L\frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} t}$ 식 (2)

를 얻을 수 있다.

마찬가지로 Δz에 키르히호프의 전류법칙을 적용하여 노드방정식을 만들면

$\small I(z+\Delta z)-I(z)=-GV(z+\Delta z)-C\frac{\mathrm{d} V(z+\Delta z)}{\mathrm{d} t}$ 식 (3)

가 되며, 극한 Δz -> 0를 취하면

$\small \lim_{\Delta z\to 0}\frac{I(z+\Delta z)-I(z)}{\Delta z}=\frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} z}=-GV(z)-C\frac{\mathrm{d} V(z)}{\mathrm{d} t}$ 식 (4)

를 얻을 수 있다. 따라서 길이 Δz에 대한 방정식은 다음과 같이 요약할 수 있다.

$\small \frac{\mathrm{d} V(z)}{\mathrm{d} z}=-(R+L\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t})I(z)$

$\small \frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} z}=-(G+C\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t})V(z)$ 식 (5)

위의 식 (5)를 시간영역(time domain)상에서 미분방정식(differential equation)으로 표현한 전송선방정식(transmission line equation) 또는 전신방정식(Telegrapher's equation)이라 한다.

시간영역(time domain)의 방정식을 주파수영역(frequency domain)의 방정식으로 바꾸면 다음과 같다.

$\small \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} z}=-(R+j\omega L)I$

$\small \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} z}=-(G+j\omega C)V$ 식 (6)

위의 방정식에서 R+jωL은 선로에 직렬로 연결되어 있으므로 임피던스(impedance) Z, 그리고 G+jωC는 귀환경로에 단락되었으므로 어드미턴스(admittance) Y로 표현할 수 있다.

Z = R + jωL ohms per unit length

Y = G + jωC mhos per unit length 식 (7)

따라서 식 (6)은 다음과 같이 다시쓸 수 있다.

$\small \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} z} = -ZI$ 식 (8)

$\small \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} z} = -YV$ 식 (9)

식 (8)과 식 (9)의 해(solution)을 구하기 위해 거리 z에 대하여 식 (8)의 도함수를 구하면

$\small \frac{\mathrm{d}^{2} V}{\mathrm{d} z^{2}} = -Z\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} z}$ 식 (10)

이며 식 (9)를 식 (10)에 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

$\small \frac{\mathrm{d}^{2} V}{\mathrm{d} z^{2}} = (ZY)V$ 식 (11)

식 (11)은 2계 미분방정식으로서 반드시 다음과 같은 형태의 해(solution)을 가지게 된다.

$\small V=V_{1}e^{-\sqrt{ZY}z}+V_{2}e^{\sqrt{ZY}z}$ 식 (12)

식 (12)를 식 (8)에 대입하여 전류식을 구하면 다음과 같다.

$\small I=\frac{1}{\sqrt{Z/Y}}(V_{1}e^{-\sqrt{ZY}}z-V_{2}e^{\sqrt{ZY}}z)$ 식 (13)

식 (13)에서 √ Z/Y 는 지금까지 구한 전송선상의 전압과 전류관계의 특성을 나타내는 요소로서 단위는 √ (ohms)/(mohs) =ohms가 되어 전송선의 임피던스를 나타낸다. 이 임피던스를 전송선의 특성임피던스(characteristic impedance) 라고 하며 식 (7)을 이용하여 다음과 같이 쓴다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{Z}{Y}}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$ 식 (14)

식 (14)를 통해서 아래와 같은 성질을 알 수 있다.

특성임피던스(characteristic impedance)는 전송선자체가 가지고 있는 임피던스가 아니고 전송선의 단위길이(unit length)의 성질에 의해 정해진다.
특성임피던스(characteristic impedance)는 전송선의 길이와 무관하다.
전송선의 부하 임피던스(load impedance)는 전송선자체의 임피던스가 아닌 특성임피던스(characteristic impedance)와 정합(mach)할 경우에만 신호반사(reflection)가 없다.

한편, 식 (12)와 식 (13)의 지수인 √ ZY 는 거리 z상에서 전압과 전류를 전파시키는 역할을 한다. 이를 전파상수(propagation constant)라고 하며 다음과 같이 쓴다.

$\gamma =\sqrt{ZY}=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=\alpha + j\beta$ 식 (15)

전파상수(propagation constant)는 복소수로 되어있으며 실수부분(α)은 신호가 전송선을 따라 흐르면서 생기는 감쇄정도를 나타내므로 감쇄상수(attenuation constant)라고 한다. 그리고 허수부분(β)은 전압과 전류의 위상변화를 정하기 때문에 위상상수(phase constant)라고 한다.

식 (12)와 식 (13)에서 나타낸 파동방정식의 해(wave equation's solution)는 거리변수를 나타내는 z만 가지고 서술 하였는데 신호의 시간변수 t와 함께 서술하면 다음과 같다.

$\small V(z,t)=Re[(V_{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+V_{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z})e^{j\omega t}]$ 식 (16)

$\small I(z,t)=Re[\frac{1}{Z_{0}}(V_{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}-V_{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z})e^{j\omega t}]$ 식 (17)

따라서 위에 보여진 식 (16)와 식 (17)에 의하여 전송선에서 보여지는 전압과 전류는 주어진 주파수에서 감쇄(attenuation)에 따른 신호손실(signal loss)과 위상전이에 따른 신호지연(signal delay)을 가지게 된다.

위에서 설명한 전송선의 특성에 따라서 소스신호의 파형은 전송선을 따라 흐르면서 변하게 되는데 몇가지 예를 다음 그림에서 볼 수 있다.

[그림 2]

2013년 2월 19일 화요일

전송선(Transmission Line)

전송선은 물리적으로 떨어져있는 부품(또는 시스템)들을 연결하여 전기신호를 흐르게하는 매체를 통털어서 일컽는다. PCB상의 회로선들, wire, 동축케이블(coax cable)등을 예로 들 수 있다. 집중회로(lumped circuit)일 경우에는 신호를 전달하는 신호선들이 회로해석을 하는데 어려움이 없지만 분포회로(distributed circuit)일 경우에는 신호의 상승시간, 동작주파수, 최고주파수성분등 여러가지의 신호성질들이 전송선(transmission line)을 흐르면서 회로동작에 상당한 영향을준다. 전송선을 해석하기 위해 많은 파라미터들이 사용되나 그 중 대표적인것들은 다음과같다.

전파 지연시간(propagation delay)
특성임피던스(characteristic impedance)
직류감쇄(DC attenuation)
교류감쇄(AC attenuation)
크로스톡(crosstalk)

위의 파라미터들을 살펴보기 위해서는 전송선의 모델을 만들어 입출력간의 전압/전류의 관계를 따져봐야 한다. 이전에도 잠깐 언급했지만 신호의 전류가 도체를 통해 소스로부터 부하까지 흐르기 위해서는 동일한 양의 전류가 부하에서 소스로 다시 돌아와야 한다. 즉, '어느 지점에서 나가는 전류의 총합은 동일한 지점으로 들어오는 전류의 총합과 같다'라는 키르히호프의 전류법칙을 따라야 한다. 이 말은 곧 [그림 1]과 같이 소스로 부터 부하까지 신호가 전달되는 신호경로(signal path)가 있다면 반드시 그 신호의 전류가 소스로 돌아올 수 있는 귀환경로(return path)가 있어야 한다는 말이다.

[그림 1]

따라서 엄밀히 말하면 전송선(transmission line)은 두개의 도체(신호선로와 귀환경로)로 이루어 진다고 할 수 있다. 일반적으로 귀환경로는 접지(ground)를 통해 이루어지며 신호선과 접지선은 전류루프(current loop)를 형성하게 된다.

[그림 2]

[그림 2a]은 신호경로와 귀환경로를 갖는 전송선을 보여준다. 전송선의 미소부분을 Δz 라고 하면 그 부분의 등가회로는 그 밑에 보여진것처럼 RLGC회로로 나타낼 수 있다. 각각의 소자가 의미하는 바는 다음과 같다.

R: 이상적인 도체를 제외한 모든 도체는 저항성분(resistance)를 가지므로 모든 전송선은 직렬성분의 R을 갖는다.
L: 도체에 전류가 흐르면 자계(magnetic field)가 변하게 되어 반드시 인덕턴스(inductance)가 생기므로 모든 전송선은 직렬성분의 L을 갖는다.
C: 일반적으로 신호경로와 귀환경로는 유전체(dielectric material)에 의해 분리되는데 두 경로를 이루는 도체사이의 전압차이는 케페시턴스(capacitance)를 가지게 되어 모든 전송선은 신호경로와 귀환경로사이에 C를 갖는다.
G: 이상적인 유전체를 제외한 모든 유전체는 어느정도의 전도성(conductance)을 가지고 있으므로 모든 전송선은 신호경로와 귀환경로사이에 G를 갖는다.

[그림 2b]는 귀환경로에 있는 R과 L을 신호경로에 합해놓은 등가회로이다. 따라서 [그림 1b]에 보여진 Δz 에 해당하는 RLGC회로를 여러개 연결하면 단위길이당(meter또는 inch)에 대한 전송선의 모델(transmission line model)이 된다. 전송선을 모델링할때 몇개의 RLGC회로 블럭을 사용해야 하는가는 전송선의 길이(length), 전파속도(propagation velocity) 그리고 신호의 상승시간(rise time)에 의해 정할 수 있다. 또한 각각의 RLGC값들은 주어진 전송선의 기하학적인 구조를 가지고 field solver(HFSS, HSpice, ADS,...) 시뮬레이션을 실행하여 RLGC모델을 구하여 소자 값들을 알아낼 수 있다.

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