Links and Interconnections: 주파수에 따른 전송선의 성질

지난 시간에 샅펴본 전송선의 특성임피던스(characteristic impedance)에서 주파수(ω)가 0일 경우, 즉 DC상태에서 특성임피던스(characteristic impedance)는 다음과 같다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}=\sqrt{\frac{R}{G}}$ 식 (1)

주파수가 조금씩 높아질경우 유전손실로 인한 콘덕턴스(G)는 저항(R)성분에 비해 현저히 작고 ωC >> G가 되므로 콘덕턴스(G)를 무시하여 저주파수에서의 특성임피던스(characteristic impedance)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{j\omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}\sqrt{1-j\frac{R}{\omega L}}$ 식 (2)

주파수가 더 올라가 고주파수가 되면 ωL >> R이 되어 식 (2)의 R/ωL은 무시할 수 있으므로

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{j\omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}\sqrt{1-j\frac{R}{\omega L}}=\sqrt{\frac{L}{C}}$ 식 (3)

을 얻을 수 있다. 식 (2)와 식 (3)을 보면 특성임피던스(characteristic impedance)는 ωL과 R의 비율에 영향을 받음을 알 수 있다.

[그림 1]은 특성임피던스(characteristic impedance)와 주파수의 관계, 그리고 특성임피던스(characteristic impedance)와 ωL/ R의 관계를 보여준다. 그래프에서 보여준 특성임피던스(characteristic impedance)의 계산에 이용한 RLGC값은 다음과 같다.

R: 0.05 Ω/meter L: 4.98 nH/meter C: 1.98 pF/meter G: 0.0 Ʊ/meter

[그림 1]

다음으로 주파수에 따른 전파상수(propagation constant)의 변화를 알아보기로 한다.

주파수(ω)가 0(DC상태)일 경우, 전파상수(propagation constant)는 다음과 같다.

$\small \gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=\sqrt{RG}$    식 (4)

위의 식에서 전파상수(propagation constant)는 실수인 감쇄상수(attenuation constant, α)만을 가지며 위상상수(phase constant, β)는 0이다.

주파수가 높아져서 ωL >> R 과 ωC >> G의 상태가 되면 바이노미알 정리(binomial theorem)에 의해 다음을 얻을 수 있다.

* Binomial theorem: √ (a+b) ≈ √ a + b/(2√ a ) for a >> b

$\small \begin{align*}\gamma =\alpha +j\beta &= \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}\\\\ &= \sqrt{j\omega L+R}\sqrt{j\omega C+G}\\\\ &= (\sqrt{j\omega L}+\frac{1}{2}\frac{R}{\sqrt{j\omega L}})(\sqrt{j\omega C}+\frac{1}{2}\frac{G}{\sqrt{j\omega C}})\\\\ &= \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}+\frac{G}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}+j(\omega \sqrt{LC}-\frac{1}{4}\frac{RG}{\omega LC}) \end{align*}$    식 (5)

식 (5)에서 RG값은 다른 항에 비해서 매우 작아서 무시할 수 있으며 고주파수에서의 특성임피던스(characteristic impedance)인 Z₀ = √ L/C 를 이용하면 다음과 같이 다시 간단히 쓸 수 있다.

$\small \begin{align*}\gamma =\alpha +j\beta &\approx \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}+\frac{G}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}+j\omega \sqrt{LC}\\\\ &\approx \frac{R}{2Z_{0}}+\frac{GZ_{0}}{2}+j\omega \sqrt{LC} \end{align*}$ 식 (6)

따라서 고주파수에서 감쇄상수(attenuation constant, α)와 위상상수(phase constant, β)는 다음과 같다.

$\small \begin{align*} \alpha &\approx \frac{R}{2Z_{0}}+\frac{GZ_{0}}{2}\\\\ \beta &\approx j\omega \sqrt{LC} \end{align*}$ 식 (7)

식 (7)의 감쇄상수(attenuation constant, α)에서 R/2Z₀는 신호전도체(conductor)에 의한 신호손실을 의미하고 GZ₀/2는 유전체(dielectric)에 의한 신호손실을 의미한다.

감쇄상수(attenuation constant, α)와 위상상수(phase constant, β)의 주파수의 일반식은 식 (8)과 같이 쓸 수 있다.

$\small \begin{align*} \alpha^{2}&= \frac{1}{2}(\sqrt{(R^{2}+(\omega L)^{2})(G^{2}+(\omega C)^{2})}+(RG-\omega^{2}LC))\\\\ \beta^{2} &= \frac{1}{2}(\sqrt{(R^{2}+(\omega L)^{2})(G^{2}+(\omega C)^{2})}-(RG-\omega^{2}LC)) \end{align*}$    식 (8)

[그림 2]는 식 (8)과 다음의 RLGC 파라미터를 이용한 주파수에 따른 α와 β의 관계를 보여준다. 그림에서 보여지는것 같이 주파수가 높아질 수록 α와 β가 각각 식 (7)에 수렴함을 볼 수 있다.

R: 0.05 Ω/meter L: 4.98 nH/meter C: 1.98 pF/meter G: 0.0 Ʊ/meter

[그림 2]

Links and Interconnections

2013년 3월 17일 일요일

주파수에 따른 전송선의 성질

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