Links and Interconnections: 전송선의 파동방정식 (Transmission Line Wave Equation)

지난 포스팅에서 봤던 전송선의 등가회로를 다시 보면 다음과 같다.

[그림 1]

[그림 1]의 회로를 좀 더 자세하게 해석하기위해 Δz에서 발생하는 전압전류의 관계를 알아보기로 한다. 먼저 RLGC회로상에서 키르히호프의 전압법칙을 이용하여 노드방정식을 만들면 다음과 같다.

$\small V(z+\Delta z)-V(z)=-RI(z)-L\frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} t}$ 식 (1)

방정식 (1)에서 Δz를 최대한 작게하기 위해 극한 Δz -> 0를 취하면

$\small \lim_{\Delta z\to 0}\frac{V(z+\Delta z)-V(z)}{\Delta z}=\frac{\mathrm{d} V(z)}{\mathrm{d} z}=-RI(z)-L\frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} t}$ 식 (2)

를 얻을 수 있다.

마찬가지로 Δz에 키르히호프의 전류법칙을 적용하여 노드방정식을 만들면

$\small I(z+\Delta z)-I(z)=-GV(z+\Delta z)-C\frac{\mathrm{d} V(z+\Delta z)}{\mathrm{d} t}$ 식 (3)

가 되며, 극한 Δz -> 0를 취하면

$\small \lim_{\Delta z\to 0}\frac{I(z+\Delta z)-I(z)}{\Delta z}=\frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} z}=-GV(z)-C\frac{\mathrm{d} V(z)}{\mathrm{d} t}$ 식 (4)

를 얻을 수 있다. 따라서 길이 Δz에 대한 방정식은 다음과 같이 요약할 수 있다.

$\small \frac{\mathrm{d} V(z)}{\mathrm{d} z}=-(R+L\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t})I(z)$

$\small \frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} z}=-(G+C\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t})V(z)$ 식 (5)

위의 식 (5)를 시간영역(time domain)상에서 미분방정식(differential equation)으로 표현한 전송선방정식(transmission line equation) 또는 전신방정식(Telegrapher's equation)이라 한다.

시간영역(time domain)의 방정식을 주파수영역(frequency domain)의 방정식으로 바꾸면 다음과 같다.

$\small \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} z}=-(R+j\omega L)I$

$\small \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} z}=-(G+j\omega C)V$ 식 (6)

위의 방정식에서 R+jωL은 선로에 직렬로 연결되어 있으므로 임피던스(impedance) Z, 그리고 G+jωC는 귀환경로에 단락되었으므로 어드미턴스(admittance) Y로 표현할 수 있다.

Z = R + jωL ohms per unit length

Y = G + jωC mhos per unit length 식 (7)

따라서 식 (6)은 다음과 같이 다시쓸 수 있다.

$\small \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} z} = -ZI$ 식 (8)

$\small \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} z} = -YV$ 식 (9)

식 (8)과 식 (9)의 해(solution)을 구하기 위해 거리 z에 대하여 식 (8)의 도함수를 구하면

$\small \frac{\mathrm{d}^{2} V}{\mathrm{d} z^{2}} = -Z\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} z}$ 식 (10)

이며 식 (9)를 식 (10)에 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

$\small \frac{\mathrm{d}^{2} V}{\mathrm{d} z^{2}} = (ZY)V$ 식 (11)

식 (11)은 2계 미분방정식으로서 반드시 다음과 같은 형태의 해(solution)을 가지게 된다.

$\small V=V_{1}e^{-\sqrt{ZY}z}+V_{2}e^{\sqrt{ZY}z}$ 식 (12)

식 (12)를 식 (8)에 대입하여 전류식을 구하면 다음과 같다.

$\small I=\frac{1}{\sqrt{Z/Y}}(V_{1}e^{-\sqrt{ZY}}z-V_{2}e^{\sqrt{ZY}}z)$ 식 (13)

식 (13)에서 √ Z/Y 는 지금까지 구한 전송선상의 전압과 전류관계의 특성을 나타내는 요소로서 단위는 √ (ohms)/(mohs) =ohms가 되어 전송선의 임피던스를 나타낸다. 이 임피던스를 전송선의 특성임피던스(characteristic impedance) 라고 하며 식 (7)을 이용하여 다음과 같이 쓴다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{Z}{Y}}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$ 식 (14)

식 (14)를 통해서 아래와 같은 성질을 알 수 있다.

특성임피던스(characteristic impedance)는 전송선자체가 가지고 있는 임피던스가 아니고 전송선의 단위길이(unit length)의 성질에 의해 정해진다.
특성임피던스(characteristic impedance)는 전송선의 길이와 무관하다.
전송선의 부하 임피던스(load impedance)는 전송선자체의 임피던스가 아닌 특성임피던스(characteristic impedance)와 정합(mach)할 경우에만 신호반사(reflection)가 없다.

한편, 식 (12)와 식 (13)의 지수인 √ ZY 는 거리 z상에서 전압과 전류를 전파시키는 역할을 한다. 이를 전파상수(propagation constant)라고 하며 다음과 같이 쓴다.

$\gamma =\sqrt{ZY}=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=\alpha + j\beta$ 식 (15)

전파상수(propagation constant)는 복소수로 되어있으며 실수부분(α)은 신호가 전송선을 따라 흐르면서 생기는 감쇄정도를 나타내므로 감쇄상수(attenuation constant)라고 한다. 그리고 허수부분(β)은 전압과 전류의 위상변화를 정하기 때문에 위상상수(phase constant)라고 한다.

식 (12)와 식 (13)에서 나타낸 파동방정식의 해(wave equation's solution)는 거리변수를 나타내는 z만 가지고 서술 하였는데 신호의 시간변수 t와 함께 서술하면 다음과 같다.

$\small V(z,t)=Re[(V_{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+V_{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z})e^{j\omega t}]$ 식 (16)

$\small I(z,t)=Re[\frac{1}{Z_{0}}(V_{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}-V_{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z})e^{j\omega t}]$ 식 (17)

따라서 위에 보여진 식 (16)와 식 (17)에 의하여 전송선에서 보여지는 전압과 전류는 주어진 주파수에서 감쇄(attenuation)에 따른 신호손실(signal loss)과 위상전이에 따른 신호지연(signal delay)을 가지게 된다.

위에서 설명한 전송선의 특성에 따라서 소스신호의 파형은 전송선을 따라 흐르면서 변하게 되는데 몇가지 예를 다음 그림에서 볼 수 있다.

[그림 2]

Links and Interconnections

2013년 2월 28일 목요일

전송선의 파동방정식 (Transmission Line Wave Equation)

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