Links and Interconnections: 2월 2013

2013년 2월 28일 목요일

전송선의 파동방정식 (Transmission Line Wave Equation)

지난 포스팅에서 봤던 전송선의 등가회로를 다시 보면 다음과 같다.

[그림 1]

[그림 1]의 회로를 좀 더 자세하게 해석하기위해 Δz에서 발생하는 전압전류의 관계를 알아보기로 한다. 먼저 RLGC회로상에서 키르히호프의 전압법칙을 이용하여 노드방정식을 만들면 다음과 같다.

$\small V(z+\Delta z)-V(z)=-RI(z)-L\frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} t}$ 식 (1)

방정식 (1)에서 Δz를 최대한 작게하기 위해 극한 Δz -> 0를 취하면

$\small \lim_{\Delta z\to 0}\frac{V(z+\Delta z)-V(z)}{\Delta z}=\frac{\mathrm{d} V(z)}{\mathrm{d} z}=-RI(z)-L\frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} t}$ 식 (2)

를 얻을 수 있다.

마찬가지로 Δz에 키르히호프의 전류법칙을 적용하여 노드방정식을 만들면

$\small I(z+\Delta z)-I(z)=-GV(z+\Delta z)-C\frac{\mathrm{d} V(z+\Delta z)}{\mathrm{d} t}$ 식 (3)

가 되며, 극한 Δz -> 0를 취하면

$\small \lim_{\Delta z\to 0}\frac{I(z+\Delta z)-I(z)}{\Delta z}=\frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} z}=-GV(z)-C\frac{\mathrm{d} V(z)}{\mathrm{d} t}$ 식 (4)

를 얻을 수 있다. 따라서 길이 Δz에 대한 방정식은 다음과 같이 요약할 수 있다.

$\small \frac{\mathrm{d} V(z)}{\mathrm{d} z}=-(R+L\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t})I(z)$

$\small \frac{\mathrm{d} I(z)}{\mathrm{d} z}=-(G+C\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t})V(z)$ 식 (5)

위의 식 (5)를 시간영역(time domain)상에서 미분방정식(differential equation)으로 표현한 전송선방정식(transmission line equation) 또는 전신방정식(Telegrapher's equation)이라 한다.

시간영역(time domain)의 방정식을 주파수영역(frequency domain)의 방정식으로 바꾸면 다음과 같다.

$\small \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} z}=-(R+j\omega L)I$

$\small \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} z}=-(G+j\omega C)V$ 식 (6)

위의 방정식에서 R+jωL은 선로에 직렬로 연결되어 있으므로 임피던스(impedance) Z, 그리고 G+jωC는 귀환경로에 단락되었으므로 어드미턴스(admittance) Y로 표현할 수 있다.

Z = R + jωL ohms per unit length

Y = G + jωC mhos per unit length 식 (7)

따라서 식 (6)은 다음과 같이 다시쓸 수 있다.

$\small \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} z} = -ZI$ 식 (8)

$\small \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} z} = -YV$ 식 (9)

식 (8)과 식 (9)의 해(solution)을 구하기 위해 거리 z에 대하여 식 (8)의 도함수를 구하면

$\small \frac{\mathrm{d}^{2} V}{\mathrm{d} z^{2}} = -Z\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} z}$ 식 (10)

이며 식 (9)를 식 (10)에 대입하면 다음을 얻을 수 있다.

$\small \frac{\mathrm{d}^{2} V}{\mathrm{d} z^{2}} = (ZY)V$ 식 (11)

식 (11)은 2계 미분방정식으로서 반드시 다음과 같은 형태의 해(solution)을 가지게 된다.

$\small V=V_{1}e^{-\sqrt{ZY}z}+V_{2}e^{\sqrt{ZY}z}$ 식 (12)

식 (12)를 식 (8)에 대입하여 전류식을 구하면 다음과 같다.

$\small I=\frac{1}{\sqrt{Z/Y}}(V_{1}e^{-\sqrt{ZY}}z-V_{2}e^{\sqrt{ZY}}z)$ 식 (13)

식 (13)에서 √ Z/Y 는 지금까지 구한 전송선상의 전압과 전류관계의 특성을 나타내는 요소로서 단위는 √ (ohms)/(mohs) =ohms가 되어 전송선의 임피던스를 나타낸다. 이 임피던스를 전송선의 특성임피던스(characteristic impedance) 라고 하며 식 (7)을 이용하여 다음과 같이 쓴다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{Z}{Y}}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$ 식 (14)

식 (14)를 통해서 아래와 같은 성질을 알 수 있다.

특성임피던스(characteristic impedance)는 전송선자체가 가지고 있는 임피던스가 아니고 전송선의 단위길이(unit length)의 성질에 의해 정해진다.
특성임피던스(characteristic impedance)는 전송선의 길이와 무관하다.
전송선의 부하 임피던스(load impedance)는 전송선자체의 임피던스가 아닌 특성임피던스(characteristic impedance)와 정합(mach)할 경우에만 신호반사(reflection)가 없다.

한편, 식 (12)와 식 (13)의 지수인 √ ZY 는 거리 z상에서 전압과 전류를 전파시키는 역할을 한다. 이를 전파상수(propagation constant)라고 하며 다음과 같이 쓴다.

$\gamma =\sqrt{ZY}=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=\alpha + j\beta$ 식 (15)

전파상수(propagation constant)는 복소수로 되어있으며 실수부분(α)은 신호가 전송선을 따라 흐르면서 생기는 감쇄정도를 나타내므로 감쇄상수(attenuation constant)라고 한다. 그리고 허수부분(β)은 전압과 전류의 위상변화를 정하기 때문에 위상상수(phase constant)라고 한다.

식 (12)와 식 (13)에서 나타낸 파동방정식의 해(wave equation's solution)는 거리변수를 나타내는 z만 가지고 서술 하였는데 신호의 시간변수 t와 함께 서술하면 다음과 같다.

$\small V(z,t)=Re[(V_{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+V_{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z})e^{j\omega t}]$ 식 (16)

$\small I(z,t)=Re[\frac{1}{Z_{0}}(V_{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}-V_{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z})e^{j\omega t}]$ 식 (17)

따라서 위에 보여진 식 (16)와 식 (17)에 의하여 전송선에서 보여지는 전압과 전류는 주어진 주파수에서 감쇄(attenuation)에 따른 신호손실(signal loss)과 위상전이에 따른 신호지연(signal delay)을 가지게 된다.

위에서 설명한 전송선의 특성에 따라서 소스신호의 파형은 전송선을 따라 흐르면서 변하게 되는데 몇가지 예를 다음 그림에서 볼 수 있다.

[그림 2]

2013년 2월 19일 화요일

전송선(Transmission Line)

전송선은 물리적으로 떨어져있는 부품(또는 시스템)들을 연결하여 전기신호를 흐르게하는 매체를 통털어서 일컽는다. PCB상의 회로선들, wire, 동축케이블(coax cable)등을 예로 들 수 있다. 집중회로(lumped circuit)일 경우에는 신호를 전달하는 신호선들이 회로해석을 하는데 어려움이 없지만 분포회로(distributed circuit)일 경우에는 신호의 상승시간, 동작주파수, 최고주파수성분등 여러가지의 신호성질들이 전송선(transmission line)을 흐르면서 회로동작에 상당한 영향을준다. 전송선을 해석하기 위해 많은 파라미터들이 사용되나 그 중 대표적인것들은 다음과같다.

전파 지연시간(propagation delay)
특성임피던스(characteristic impedance)
직류감쇄(DC attenuation)
교류감쇄(AC attenuation)
크로스톡(crosstalk)

위의 파라미터들을 살펴보기 위해서는 전송선의 모델을 만들어 입출력간의 전압/전류의 관계를 따져봐야 한다. 이전에도 잠깐 언급했지만 신호의 전류가 도체를 통해 소스로부터 부하까지 흐르기 위해서는 동일한 양의 전류가 부하에서 소스로 다시 돌아와야 한다. 즉, '어느 지점에서 나가는 전류의 총합은 동일한 지점으로 들어오는 전류의 총합과 같다'라는 키르히호프의 전류법칙을 따라야 한다. 이 말은 곧 [그림 1]과 같이 소스로 부터 부하까지 신호가 전달되는 신호경로(signal path)가 있다면 반드시 그 신호의 전류가 소스로 돌아올 수 있는 귀환경로(return path)가 있어야 한다는 말이다.

[그림 1]

따라서 엄밀히 말하면 전송선(transmission line)은 두개의 도체(신호선로와 귀환경로)로 이루어 진다고 할 수 있다. 일반적으로 귀환경로는 접지(ground)를 통해 이루어지며 신호선과 접지선은 전류루프(current loop)를 형성하게 된다.

[그림 2]

[그림 2a]은 신호경로와 귀환경로를 갖는 전송선을 보여준다. 전송선의 미소부분을 Δz 라고 하면 그 부분의 등가회로는 그 밑에 보여진것처럼 RLGC회로로 나타낼 수 있다. 각각의 소자가 의미하는 바는 다음과 같다.

R: 이상적인 도체를 제외한 모든 도체는 저항성분(resistance)를 가지므로 모든 전송선은 직렬성분의 R을 갖는다.
L: 도체에 전류가 흐르면 자계(magnetic field)가 변하게 되어 반드시 인덕턴스(inductance)가 생기므로 모든 전송선은 직렬성분의 L을 갖는다.
C: 일반적으로 신호경로와 귀환경로는 유전체(dielectric material)에 의해 분리되는데 두 경로를 이루는 도체사이의 전압차이는 케페시턴스(capacitance)를 가지게 되어 모든 전송선은 신호경로와 귀환경로사이에 C를 갖는다.
G: 이상적인 유전체를 제외한 모든 유전체는 어느정도의 전도성(conductance)을 가지고 있으므로 모든 전송선은 신호경로와 귀환경로사이에 G를 갖는다.

[그림 2b]는 귀환경로에 있는 R과 L을 신호경로에 합해놓은 등가회로이다. 따라서 [그림 1b]에 보여진 Δz 에 해당하는 RLGC회로를 여러개 연결하면 단위길이당(meter또는 inch)에 대한 전송선의 모델(transmission line model)이 된다. 전송선을 모델링할때 몇개의 RLGC회로 블럭을 사용해야 하는가는 전송선의 길이(length), 전파속도(propagation velocity) 그리고 신호의 상승시간(rise time)에 의해 정할 수 있다. 또한 각각의 RLGC값들은 주어진 전송선의 기하학적인 구조를 가지고 field solver(HFSS, HSpice, ADS,...) 시뮬레이션을 실행하여 RLGC모델을 구하여 소자 값들을 알아낼 수 있다.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License.

2013년 2월 1일 금요일

상승시간(Rise Time)과 주파수대역(Bandwidth) (3)

어떤 주어진 신호는 두가지의 서로 다른 영역(domain)에서 분석이 가능한데 하나는 시간영역(time domain)이고 또다른 하나는 주파수영역(frequency domain)이다. 지난번 1편과 2편에서 보았듯이 이 두영역은 서로 상호관계에 있다. 시간영역(time domain)에 있는 신호는 푸 에 변환(Fourier Transform)을 이용하여 주파수영역(frequency domain)에서 분석할 수 있는데 푸리에 분석(Fourier Analysis)의 핵심은 바로 모든 파형은 정현파(Sinusoidal waveform)들의 조합으로 되어있다라는 사실이다. 지난시간 Knee frequency를 설명할때 사다리꼴파형을 FFT(Fast Fourier Transform)한 그림을 보여주었는데 여기서는 푸리에 시리즈(Fourier Series)를 이용하여 상승시간(Rise Time)과 주파수대역(Bandwidth)의 관계를 알아보기로 한다.

구형파를 주파수영역에서 보면 우수성분(even component)의 주파수는 0이고 기수성분(odd component)의 유한한 주파수 성분을 볼 수있는데 가장 처음의 성분을 기본 주파수(fundamental frequency)라 하고 나머지 성분들을 n-차 하모닉(harmonic)성분이라고 한다. [그림 1]에 보인 예처럼 1GHz의 구형파 신호를 주파수 영역에서 보면 1GHz에서 기본 주파수를 볼 수 있고 3GHz, 5GHz, 7GHz... 등에서 그 3차, 5차, 7차하모닉을 볼 수 있다. 기본 주파수와 하모닉의 진폭은 푸리에 계수(Fourier Coefficient)에 의해 결정되며 시간영역에서 전압진폭이 1V일 경우 n 이 하모닉 수이면 하모닉 진폭 Ao = 4/(π n)가 된다. [그림 1]의 아래에 보인 그래프를 주파수 스펙트럼(frequency spectrum)이라고 하는데 이것이 의미하는 바는 스펙트럼에서 보여진 모든 주파수성분을 갖는 정현파(sinusoidal waveform)들을 합하면 1GHz의 구형파가 생성된다는 것이다.

[그림 1]

각각의 스펙트럼 성분들을 시간영역에서 다시 보이면 [그림 2]와 같다. 그림에서 보는 것처럼 먼저 기본 주파수(fundamental frequency)인 1GHz의 sine파형으로 시작해서 각각의 하모닉성분들을 합해갈 수록 1GHz 구형파에 가까워 짐을 알 수 있다. [그림 2]에서 보여진 예는 [그림 1]의 주파수 스펙트럼에서 보여진 것처럼 19번째 하모닉인 19GHz sine파형까지 합한 경우이다. 이 말을 달리 표현하면 [그림 2]의 신호는 19GHz의 주파수 대역(frequency bandwidth)을 갖는 구형파라고도 할 수 있다. 여기서 또 한가지 알 수 있는 것은 고주파수의 성분들이 합해질수록 신호의 상승시간(rise time)이 빨라진다는 것이다. 즉, 상승시간이 빠를수록 그 신호안에는 보다 더 많은 고주파성분을 가지고 있다는 것이다. 상승시간을 가지고 얼마나 높은 주파수 성분이 들어있나 알아 볼 수 있는 방법이 바로 지난 시간에 설명한 F_BW = 0.35/T_r 또는 T_r = 0.35/F_BW 이다.

[그림 2]

## 구형파의 Fourier Series(Python 2.7)
## Written by SimplyPHY

from numpy import *
from pylab import *
import matplotlib.pyplot as plt

L = 1000
N = 2*L

M = 10

d = 100

xn = hstack((-1+zeros(L), ones(N-L))) # 구형파

Xk = fft(xn,N) # 구형파의 FFT

for s in range(1,N):
Hk[s]=2*real(Xk[s])/(s*pi)

xtick_intval=10.0

plt.subplot(211)
plot(xn)
ylim(-1.1, 1.1)
xticks(arange(0, N, N/xtick_intval), arange(0, N/N+1/xtick_intval, N/xtick_intval/N))
xlabel('Time(nsec)')

ylabel('Voltage(V)')

plt.subplot(212)
stem(arange(0,N/d),abs(Hk[0:len(Hk)/d]))
xlabel('Frequency(GHz)')
ylabel('Harmonic Amplitude')

t=arange(-pi,pi,1.0/N)

x = zeros((len(t)))
y = zeros((M+1, len(t))) # 푸리에급수를 저장할 2차원 matrix

# 퓨리에급수
for i in range(1,2*M,2):
x = x + 4/pi*sin(i*t)/i
y[(i+1)/2,:] = x

yy = len(y.T)

plt.figure()
plot(y[1:M:1,:].T)
xlim(0, 1.1)
xticks(arange(0, yy+yy/xtick_intval, yy/xtick_intval), arange(0, yy/yy+1/xtick_intval, yy/xtick_intval/yy))
xlabel('Time(nsec)')

show()

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License.