Links and Interconnections: 3월 2013

2013년 3월 17일 일요일

주파수에 따른 전송선의 성질

지난 시간에 샅펴본 전송선의 특성임피던스(characteristic impedance)에서 주파수(ω)가 0일 경우, 즉 DC상태에서 특성임피던스(characteristic impedance)는 다음과 같다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}=\sqrt{\frac{R}{G}}$ 식 (1)

주파수가 조금씩 높아질경우 유전손실로 인한 콘덕턴스(G)는 저항(R)성분에 비해 현저히 작고 ωC >> G가 되므로 콘덕턴스(G)를 무시하여 저주파수에서의 특성임피던스(characteristic impedance)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{j\omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}\sqrt{1-j\frac{R}{\omega L}}$ 식 (2)

주파수가 더 올라가 고주파수가 되면 ωL >> R이 되어 식 (2)의 R/ωL은 무시할 수 있으므로

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{j\omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}\sqrt{1-j\frac{R}{\omega L}}=\sqrt{\frac{L}{C}}$ 식 (3)

을 얻을 수 있다. 식 (2)와 식 (3)을 보면 특성임피던스(characteristic impedance)는 ωL과 R의 비율에 영향을 받음을 알 수 있다.

[그림 1]은 특성임피던스(characteristic impedance)와 주파수의 관계, 그리고 특성임피던스(characteristic impedance)와 ωL/ R의 관계를 보여준다. 그래프에서 보여준 특성임피던스(characteristic impedance)의 계산에 이용한 RLGC값은 다음과 같다.

R: 0.05 Ω/meter L: 4.98 nH/meter C: 1.98 pF/meter G: 0.0 Ʊ/meter

[그림 1]

다음으로 주파수에 따른 전파상수(propagation constant)의 변화를 알아보기로 한다.

주파수(ω)가 0(DC상태)일 경우, 전파상수(propagation constant)는 다음과 같다.

$\small \gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=\sqrt{RG}$    식 (4)

위의 식에서 전파상수(propagation constant)는 실수인 감쇄상수(attenuation constant, α)만을 가지며 위상상수(phase constant, β)는 0이다.

주파수가 높아져서 ωL >> R 과 ωC >> G의 상태가 되면 바이노미알 정리(binomial theorem)에 의해 다음을 얻을 수 있다.

* Binomial theorem: √ (a+b) ≈ √ a + b/(2√ a ) for a >> b

$\small \begin{align*}\gamma =\alpha +j\beta &= \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}\\\\ &= \sqrt{j\omega L+R}\sqrt{j\omega C+G}\\\\ &= (\sqrt{j\omega L}+\frac{1}{2}\frac{R}{\sqrt{j\omega L}})(\sqrt{j\omega C}+\frac{1}{2}\frac{G}{\sqrt{j\omega C}})\\\\ &= \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}+\frac{G}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}+j(\omega \sqrt{LC}-\frac{1}{4}\frac{RG}{\omega LC}) \end{align*}$    식 (5)

식 (5)에서 RG값은 다른 항에 비해서 매우 작아서 무시할 수 있으며 고주파수에서의 특성임피던스(characteristic impedance)인 Z₀ = √ L/C 를 이용하면 다음과 같이 다시 간단히 쓸 수 있다.

$\small \begin{align*}\gamma =\alpha +j\beta &\approx \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}+\frac{G}{2}\sqrt{\frac{L}{C}}+j\omega \sqrt{LC}\\\\ &\approx \frac{R}{2Z_{0}}+\frac{GZ_{0}}{2}+j\omega \sqrt{LC} \end{align*}$ 식 (6)

따라서 고주파수에서 감쇄상수(attenuation constant, α)와 위상상수(phase constant, β)는 다음과 같다.

$\small \begin{align*} \alpha &\approx \frac{R}{2Z_{0}}+\frac{GZ_{0}}{2}\\\\ \beta &\approx j\omega \sqrt{LC} \end{align*}$ 식 (7)

식 (7)의 감쇄상수(attenuation constant, α)에서 R/2Z₀는 신호전도체(conductor)에 의한 신호손실을 의미하고 GZ₀/2는 유전체(dielectric)에 의한 신호손실을 의미한다.

감쇄상수(attenuation constant, α)와 위상상수(phase constant, β)의 주파수의 일반식은 식 (8)과 같이 쓸 수 있다.

$\small \begin{align*} \alpha^{2}&= \frac{1}{2}(\sqrt{(R^{2}+(\omega L)^{2})(G^{2}+(\omega C)^{2})}+(RG-\omega^{2}LC))\\\\ \beta^{2} &= \frac{1}{2}(\sqrt{(R^{2}+(\omega L)^{2})(G^{2}+(\omega C)^{2})}-(RG-\omega^{2}LC)) \end{align*}$    식 (8)

[그림 2]는 식 (8)과 다음의 RLGC 파라미터를 이용한 주파수에 따른 α와 β의 관계를 보여준다. 그림에서 보여지는것 같이 주파수가 높아질 수록 α와 β가 각각 식 (7)에 수렴함을 볼 수 있다.

R: 0.05 Ω/meter L: 4.98 nH/meter C: 1.98 pF/meter G: 0.0 Ʊ/meter

[그림 2]

2013년 3월 7일 목요일

무손실 전송선(Lossless Transmission Line)

지금까지 보아온 RLGC소자로 모델링한 전송선에서 R(resistor)과 G(conductor)는 신호에너지의 손실을 유발한다. 이상적인 전송선 즉, 에너지 손실이 없는 전송선을 모델링하기 위해서는 [그림 1]에 보여진것 처럼 기존의 RLGC등가회로에서 R소자값과 G소자값을 영으로 하여 L(inductor)소자와 C(capacitor)소자로만 등가회로를 구성하면된다.

[그림 1]

[그림 1]에서 R과 G의 값이 0이므로 지난 시간 '전송선(Transmission Line) - 파동방정식(Wave Equation)'에서 구한 전파상수(propagation constant)를 나타내는 γ의 α항인 지수감쇄(exponential attenuation)도 0이 되어 β항인 위상전위(phase shift)만 남게된다. 따라서 노드 방정식에서 유도한 전압식은 오일러의 공식(Euler's formula)을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\small \begin{align*} V(z,t)&=Re[\ (V_{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+V_{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z})e^{j\omega t}\ ] \\\\ &= Re[\ (V_{+}e^{-\alpha z}e^{j(\omega t -\beta z)}+V_{-}e^{\alpha z}e^{j(\omega t+\beta z)}\ ]\\\\ &= V_{+}e^{-\alpha z}\ cos(\omega t -\beta z)+V_{-}e^{-\alpha z}\ cos(\omega t +\beta z) \end{align*}$ 식 (1)

식 (1)에서 정방향 파동만을 고려하면 [그림 2]와 같이 시간(t)과 공간(z)상의 정현파를 그릴 수 있다.

[그림 2]

위의 식 (1)과 지난시간에 소개한 파동방정식(wave equation)을 이용하여 무손실전송선(lossless transmission line)의 중요 파라미터를 구해보도록 한다.

1. 위상속도(Phase Velocity)

[그림2]에서 보여지는 것 처럼 정현파가 공간을 따라 거리 z의 방향으로 이동하게 되면 그에 따른 이동시간도 변하게 된다. 즉, 정현파의 위상(phase)은 Δz/Δt의 비율로 변하게 되므로 Δz/Δt는 위상속도(phase velocity)라 할 수 있다. 식 (1)에서 cosine항의 ωt - βz를 상수(constant)로 놓으면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.

$\small \frac{dz}{dt}=v_{p}=\frac{\omega }{\beta }\hspace{20}m/s$ 식 (2)

또한 전파상수(propagation constant)로 부터 다음의 식을 유도할 수 있다.

$\small \gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=0+j\omega \sqrt{LC}\hspace{5} \rightarrow\hspace{5} \beta =\omega \sqrt{LC}$ 식 (3)

식 (3)을 식 (2)에 대입하면 위상속도( phase velocity, ν_p)는

$\small v_{p}=\frac{\omega }{\beta }=\frac{1}{\sqrt{LC}}\hspace{20}m/s$ 식 (4)

로서 L과 C는 단위 길이당의 값이다. 위상속도(phase velocity)는 식 (5)와 같이 유전체(dielectric)의 성질을 이용해서 나타낼 수 도 있다.

$\small v_{p}=\frac{c}{\sqrt{\mu _{r}\varepsilon _{r}}}\hspace{20}m/s$ 식 (5)

c는 진공상태에서의 빛의 속도(3 x 10⁸ m/s)이고 μ_r은 유전체의 투자율(relative magnetic permeability)이며 ε_r는유전체의 유전율(relative permittivity)이다.

파장 λ는 파형의 마루와 그 다음 마루사이의 거리를 나타내는데 식 (1)에서 파형이 z방향으로 흐르면서 βz가 2π radian만큼 증가한 거리와 같다. 즉, βλ = 2π 이므로

$\lambda =\frac{2\pi }{\beta}$ 식 (6)

이 되며 식 (4)에 의해서

$\lambda =\frac{2\pi \upsilon }{\omega}=\frac{2\pi \upsilon }{2\pi f}=\frac{\upsilon }{f}=\frac{c}{f\sqrt{\mu _{r}\epsilon _{r}}}$ 식 (7)

와 같은 관계식을 같는다.

2. 특성 임피던스(Characteristic Impedance)

지난시간에 유도했던 파동방정식(wave equation)을 이용하여 무손실 전송선의 특성임피던스(characteristic impedance)를 구하면 다음과 같다. 우선 V-I관계를 살펴보기 위해 식(8)의 정방향 파동을 식 (9)에 대입해 보기로 한다.

$\small V=V_{+}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}+V_{-}e^{\alpha z}e^{j\beta z}$    식 (8)

$\small \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} z}=-(R+j\omega L)I$    식 (9)

R과 G는 0이므로 식 (8)을 미분하면 다음 관계식을 얻을 수 있다.

$\small \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} z}=-j\omega \sqrt{LC}e^{-jz\omega \sqrt{LC}}V_{+}=-j\omega LI$ 식 (10)

따라서 전류 I 는

$\small I=\frac{\sqrt{LC}e^{-j\omega z\sqrt{LC}}}{L}V_{+}=\sqrt{\frac{C}{L}}V_{+}e^{-jz\omega \sqrt{LC}}$ 식 (11)

가 된다. 식 (11)에서 C의 단위는 F/m=A S/m 이고 L의 단위는 H/m=V S/A이므로 √ (C/L) 의 단위는 A/V가되어 지멘스(siemens) 즉, 저항(resistance)의 역수가 된다. 그러므로 무손실전송선(lossless transmission line)의 특성임피던스(characteristic impedance)는 다음과 같다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{L}{C}}$    식 (12)

식 (13)에서 보여지는 것같이 식 (12)는 지난시간에 소개한 RLGC 전송선 모델로 부터 유도한 특성임피던스를 통하여 얻은 값과 일치한다.

$\small Z_{0}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}=\sqrt{\frac{0+j\omega L}{0+j\omega C}}=\sqrt{\frac{L}{C}}$    식 (13)